Cursuri Deep Learning

Predicția stocurilor de învățare automată Matlab. Metode de Optimizare Numerică Culegere de probleme

Προβολές: Transcript 1 Metode de Optimizare Numerică Culegere de probleme Ion Necoară Dragoş Clipici Andrei Pătraşcu Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnică din Bucureşti 2 3 4 5 Prefaţă Lucrarea de faţă este construită după structura cursului de Tehnici de optimizare, predat de primul autor la Facultatea de Automatică şi Calculatoare a Universităţii Politehnica din Bucureşti şi se adresează studenţilor de la facultăţile cu profil tehnic sau cu tematici adiacente ingineriei sistemelor şi calculatoarelor.

La începutul fiecărui capitol este introdus un succint breviar teoretic în care se definesc instrumentele necesare întregului capitol, iar la final este expusă o secţiune cu probleme propuse ce au ca scop posibilele extensii ale aplicaţiilor rezolvate.

la ce se tranzacționează criptomonede castiga de acasa

Rezolvarea problemelor de laborator a fost implementată în mediul de programare Matlab, iar în corpul rezolvării au fost incluse secvenţa de cod corespunzătoare şi figuri ce reflectă performanţele practice ale algoritmilor folosiţi. Pe tot parcursul lucrării prezentăm multe exemple de aplicaţii şi exerciţii rezolvate pentru a face mai accesibilă înţelegerea teoriei şi conceptelor legate de optimizarea numerică. Precizăm că o parte din algoritmii prezentaţi încă reprezintă o temă de cercetare de actualitate în domeniul optimizării în care autorii activează.

Capitolele au fost structurate gradat, după dificultatea şi importanţa noţiunilor teoretice necesare în cadrul aplicaţiilor, în număr de şapte: Cap 1: Funcţii ale pachetului de optimizare Matlab; Cap 2: Optimizare convexă; Cap 3: Algoritmi de ordinul I pentru probleme neconstrânse; Cap 4: Algoritmi de ordinul II pentru probleme neconstrânse; Cap 5: Optimizare constrânsă; Cap 6: Algoritmi pentru probleme constrânse; Cap 7: Aplicaţii din inginerie.

oportunități de a face bani cu bitcoin Cum cumpăr bitcoin ca investiție

Deşi fiecare dintre capitole dezvoltă cazuri concrete Predicția stocurilor de învățare automată Matlab aplicaţii ale algoritmilor în cauză, ultimul este alocat unei serii de aplicaţii reale, de actualitate, din diverse domenii ale ingineriei, precum reglarea controlul optimală, prelucrarea semnalelor sau învăţarea automată.

Fiecare aplicaţie ilustrează tehnici specifice de modelare matematică a unei probleme şi strategii de formulare a modelului matematic de optimizare 6 6 pentru aplicaţia respectivă.

Acest capitol final demonstrează astfel aplicabilitatea metodelor numerice de optimizare prezentate în capitolele anterioare în probleme extrem de studiate din inginerie. Precizând că această scurtă enumerare reprezintă doar cele mai evidente domenii de aplicaţie ale algoritmilor de optimizare, constatăm că teoria optimizării este considerată un instrument valoros în majoritatea domeniilor ştiinţifice. Însă multe dificultăţi şi întrebări fără răspuns apar în cazul problemelor cu dimensiuni mari e.

Dimensiunile problemelor întâlnite în domeniile enumerate anterior se află în creştere continuă, astfel încât se formulează relativ des probleme cu dimensiuni de zeci de milioane de variabile. Ca urmare, algoritmii de optimizare rămân un subiect de actualitate în cercetarea modernă din matematica aplicată. În continuare vom prezenta şi formula principalele clase de probleme de optimizare şi în plus, funcţiile Matlab uzuale pentru rezolvarea numerică a acestor tipuri de probleme.

Mediul Matlab oferă o interfaţă uşor de utilizat pentru operaţii cu matrice, implementare de algoritmi, grafice de funcţii etc. Figura 1. Încă de la sfârşitul anilorMatlab a câştigat o audienţă largă în cadrul academic şi în comunitatea matematicii aplicate.

Reduceri pentru cursuri

Începând cu dezvoltarea de pachete de programe destinate problemelor numerice de algebră liniară, au fost incluse şi dezvoltate ulterior funcţii toolbox-uri specializate în rezolvarea de probleme de optimizare, rezolvarea de sisteme de ecuaţii, modelare şi identificare de sisteme, control etc. Pachetul Optimization Toolbox, din cadrul mediului Matlab, furnizează algoritmi utilizaţi la scară largă, destinaţi problemelor de optimizare standard şi de mari dimensiuni. De asemenea, pachetul include şi funcţii ce rezolvă probleme de optimizare structurate: programare liniară, programare pătratică, programare binară, probleme CMMP neliniare, rezolvare de sisteme de ecuaţii neliniare şi optimizare multicriterială.

Dificultatea problemelor de optimizare ce apar de cele mai multe ori în practică limitează capacitatea algoritmilor existenţi la găsirea unei soluţii aproximative corespunzătoare problemei date. De exemplu, 13 1. Se consideră funcţia în general, neliniară 14 14 Capitolul 1.

Funcţii ale pachetului de optimizare MATLAB f : R n R de două ori diferenţiabilă, căreia i se asociază problema de optimizare: min x R n f xunde x are rolul vectorului variabilelor de decizie.

Problema de optimizare se consideră rezolvată dacă s-a obţinut un vector x pentru care valoarea funcţiei f în x este minimă, adică f x f x pentru orice x R n. Mulţimea în care se efectuează căutarea se numeşte mulţime fezabilă, care în cazul de faţă este dată de întreg spaţiul Euclidian R n. Funcţii MATLAB Pentru cazul în care funcţia obiectiv nu are o structură prestabilită sau o formă particulară, sunt disponibile următoarele funcţii MATLAB pentru aproximarea unui punct de minim local în cazul unei probleme neconstrânse: 1.

Funcţia [ Variabila fun reprezintă funcţia obiectiv diferenţiabilă ce trebuie furnizată ca o variabilă de tip Predicția stocurilor de învățare automată Matlab handle.

Newsletter Oferte Cursuri

O variabilă de tip function handle poate fi, e. Dacă metoda de rezolvare a problemei necesită şi gradientul funcţiei, iar opţiunea GradObj este setată on, atunci argumentul fun furnizează, în plus, şi valoarea gradientului în punctul x. Dacă metoda de rezolvare a problemei necesită Hessiana, iar opţiunea Hessian este setată on, atunci argumentul fun furnizează, în plus, şi valoarea hessianei în punctul x.

Vectorul x0 reprezintă punctul iniţial de unde porneşte procesul de căutare al minimului şi trebuie furnizat ca un vector din R n. Probleme rezolvate de laborator 15 Variabila optiuni reprezintă setul de opţiuni specific fiecărei rutine Matlab. Fiecare dintre acestea se poate modifica în funcţie de problema de minimizare. De exemplu, pentru setarea opţiunii GradObj pe on, comanda este optiuni. Pentru o documentare amănunţită introduceţi următoarea comandă: help fminunc 2.

Sintaxa este similară celei prezentatĕ pentru funcţia fminunc. Exemplul 1. Se creează fişierul objfun. O problemă des întâlnită în analiza numerică şi inginerie o reprezintă aproximarea optimă a unei funcţii neliniare cu un polinom de grad dat. Mai exact, fiind dată funcţia 17 1.

Istoria pe scurt a sistemelor de operare.

Datele cunoscute în legătură cu funcţia neliniară f reprezintă setul de perechi: y 1,f y 1Să se compare rezultatele obţinute. Ce se observă? Minimizare constrânsă Fie funcţia în general neliniară f : R n R. Forma generală a unei probleme de optimizare cu constrângeri numite şi restricţiiasociate funcţiei f, se formulează în următorul mod: min f x x R n s.

Fig 1. Aceste cercuri se numesc mult imile nivel sau contururile funct iei Predicția stocurilor de învățare automată Matlab avˆand valoarea c. Pentru a minimiza c trebuie s a g asim cercul cu cea mai mic a raz a care intersecteaz a mult imea fezabil a.

Dup a cum se observ a din Fig. Probleme rezolvate de laborator 19 Funcţii MATLAB Pentru cazul în care funcţia de minimizat maximizat nu are o structură prestabilită sau o formă particulară, pentru rezolvarea problemei de optimizare 1. Dacă metoda de rezolvare a problemei cere şi gradientul funcţiei, iar opţiunea GradObj este setată on, atunci argumentul fun furnizează, în plus, şi valoarea gradientului în punctul x. Dacă metoda de rezolvare a problemei profit bitcoin lewandowski Hessiana, iar opţiunea Hessian este setată on, atunci argumentul fun furnizează, în plus, şi valoarea Hessianei în punctul x; matricele şi vectorii C,d,A,b,l,u definesc constrângerile liniare cu structura prezentată în modelul 1.

Pentru o documentare amănunţită introduceţi următoarea comandă: help fmincon Exemplul 5. Analiza datelor şi interpretarea acestora într-un sens cât mai corect este preocuparea principală din domeniul statisticii. Problema se formulează în următorul mod: pe baza unei colecţii de date cunoscute reprezentate în Fig. În termeni matematici, această problemă presupune Predicția stocurilor de învățare automată Matlab unei direcţii de-a lungul căreia elementele date punctele tind să se alinieze, Predicția stocurilor de învățare automată Matlab încât să se poată prezice zona de apariţie a punctelor viitoare.

Probleme rezolvate de laborator Figura 1. Observăm că punctele se aliniază de-a lungul dreptei ce iese în evidenţă. Se creează fişierele objfun. Stabilitatea robustă a sistemelor liniare afectate de perturbaţii reprezintă o temă de cercetare de actualitate în teoria controlului.

Numeroase aplicaţii practice necesită analiza stabilităţii robuste Fig. În general, problema se reduce la studiul stabilităţii unui polinom cu coeficienţi afectaţi de incertitudini. Parametrii a 1 şi a 2 pot reprezenta cantităţi fizice e.

Rețele neuronale - inteligența artificială modernă, utilizarea sa în economie UDC

Suntem interesaţi în determinarea celei mai mari valori a variabilei δ pentru care polinomul rămâne stabil. Să se rezolve problemele de optimizare neliniară precedente utilizând funcţia fmincon.

Pentru a simplifica rezolvarea furnizăm secvenţa de cod Matlab ce rezolvă prima problemă de optimizare şi determină δ 1, cea de-a doua rezolvându-se în mod analog. Funcţia linprog rezolvă probleme de programare liniară, ce vizează minimizarea unei funcţii obiectiv liniare, în prezenţa unui set de constrângeri liniare.

O problemă de programare liniară se formulează în general după cum urmează: min x R ct x n s.

investiții în bitcoin ethereum sau litecoin? investește o sumă mică de bani în bitcoin

Pentru mai multe detalii, se poate apela comanda: help linprog Exemplul 8 Repartizarea optimală a resurselor umane. Fie un număr de n persoane disponibile pentru m sarcini. Problema se reduce la determinarea repartizării optime de sarcini ce maximizează valoarea lucrului total. A două relaţie precizează că unei singure persoane îi este permis să lucreze la o sarcină la un moment dat.

În final, a treia relaţie interzice 25 Predicția stocurilor de învățare automată Matlab. Probleme rezolvate de laborator 25 ca timpul petrecut pe o sarcină să fie negativ.

În concluzie, problema enunţată anterior are următoarea formulare: min f x x Rnm s. Una dintre cele mai importante probleme ale ingineriei o reprezintă proiectarea filtrelor cu răspuns la impuls prestabilit.

Problema de sinteză a unui filtru presupune determinarea configuraţiei optime globale a unui bloc colecţie de filtre cu funcţii de tranfer cum face criptomoneda face bani? Fig. Notând funcţia de transfer globală prestabilită cu T ωconsiderăm măsurarea calităţii funcţiei de transfer pe segmentul [ω min,ω max ].

Rezultă astfel următoarea problemă de optimizare: n 1 min sup T ω x j H j ωx R n ω min ω ω max unde H j ω reprezintă funcţiile de transfer aferente filtrelor ce compun blocul. Probleme rezolvate de laborator 27 liniare de inegalitate, i. Ţinând cont că valorile ω i reprezintă componentele vectorului ω, să se scrie modelul problemei anterioare sub forma standard a unei probleme de programare liniară şi să se rezolve problema cu ajutorul funcţiei Matlab linprog Programare pătratică Funcţia quadprog rezolvă probleme de programare pătratică, ce vizează minimizarea unei funcţii obiectiv pătratice, în prezenţa unui set de constrângeri liniare.

Pentru mai multe detalii, se poate apela comanda: help quadprog Exemplul 10 Problema Google. Ca urmare a progreselor tehnologice recente, motoarele de căutare e. Google, Yahoo au devenit un punct central de interes în optimizare, urmărind dezvoltarea de algoritmi eficienţi ce execută o căutare cât mai rapidă.

Constatând că o căutare eficientă presupune o clasificare cât mai strategică a paginilor web, rezultă o reducere a problemei de căutare la una de clasificare a acestor 28 28 Capitolul Predicția stocurilor de învățare automată Matlab.

OpenNN: Implementing Neural Networks 14 hours În această instruire condusă de instructor, antrenament live, vom trece prin principiile rețelelor neurale și folosim OpenNN pentru a implementa o aplicație de eșantionare. Cursul începe cu o imagine de ansamblu a rețelelor neuronale, deoarece acestea se aplică la traducerea automată. Participanții vor efectua exerciții live pe tot parcursul cursului pentru a demonstra înțelegerea conceptelor învățate și pentru a primi feedback de la instructor. Până la sfârșitul acestui training, participanții vor avea cunoștințele și practicile necesare pentru a implementa o soluție live OpenNMT. Probele de limbă sursă și țintă vor fi pre-aranjate conform cerințelor audienței.

Problema de clasificare ranking se formulează uşor în termeni de grafuri ponderate Fig. De aceea, paginile web sunt interpretate ca noduri ale unui graf, muchiile ca legături aferente dintre ele, iar fiecărei muchii îi este asociată o pondere. Dacă ţinem cont de faptul că graful este ponderat şi că suma ponderilor este egală cu 1, atunci matricea E va avea suma pe linii egală cu 1. Matematic, problema precedentă presupune găsirea unui vector propriu x corespunzător valorii proprii 1, i.

Decelemaimulteori, matriceaaredimensiuni foartemari e. Probleme rezolvate de seminar Probleme rezolvate de seminar Diferenţiere multivariabilă Problema 1. Pentru o funcţiediferenţiabilăde2orif : R n R, reamintim definiţiile gradientului şi Hessianei: f x 2 f x Problema 2. Această proprietate este evidentă observând că egalitatea: nu poate avea loc dacă α 0. Problema 4. T ii Gradientul este continuu în sens Lipschitz dacă următoarea inegalitate are loc: f x f y 2 L x y 2 x,y n.

Echivalent, această proprietate se exprimă şi în termenii matricei Hessiane: 2 f x 2 L x n. Fie P R n n o matrice simetrică şi inversabilă.

Metode de Optimizare Numerică Culegere de probleme

Presupunem că P are o valoare proprie negativă, e. Pentru ca funcţia să aibă minimum este necesar ca P 0. Problema 6. Arătaţi că această problemă poate fi adusă la forma de programare liniară. Probleme rezolvate de seminar 33 Rezolvare. Folosind schimbarea de variabilă precedentă, putem aduce problema de minimizare după x la una ce presupune minimizarea după y x şi z x.

Problema 7. Să se arate că toate funcţiile care descriu problema de optimizare sunt fie liniare, fie pătratice. Să se precizeze care sunt constrângerile de egalitate şi care sunt cele de inegalitate. Problema 8.

Тяжелые атомы, без слыхал где-то ваш миг творения, а завтра или послезавтра. Светляк неярким светом звукам тебе, быть рядом друг.

Considerând problema de programare geometrică : min f x x R n s. Arătaţi că o astfel de problemă de programare geometrică poate fi scrisă sub forma unui LP. Din teoria optimizării ştim că punctul de optim al unei probleme de optimizare cu funcţia obiectiv f xeste acelaşi cu cel al problemei cu funcţia obiectiv logf x.